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【数学家的故事】丨从笛卡尔到解析几何

  勒内·笛卡尔1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷(现笛卡尔,因笛卡儿得名),1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩,是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献,因将几何坐标体系公式化而被认为是。他还是西方现代哲学思想的奠基人,是近代唯物论的开拓者且提出了普遍怀疑的主张。黑格尔称他为现代哲学之父。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人,开拓了所谓欧陆理性主义哲学。堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,被誉为近代科学的始祖。

  少年时期他上过一所环境优雅的耶稣会学校──尖塔中学。二十岁在普瓦提埃大学获得法律学学位。虽然笛卡尔受过良好的教育,但他却认为除了数学以外任何其它领域的知识皆是有懈可击的。从此,他没有继续接受正规教育,而是决定漫游整个欧洲,开阔视野,见悉世面。由于笛卡尔的家庭经济富裕,足以使他囊满无挂,悠哉游哉。

  从1616年到1628年,笛卡尔做了广泛的游历。他曾在三个军队中(荷兰、巴伐利亚和匈牙利)短期服役,但从未参加任何战斗。观光过意大利、波兰、丹麦及其它许多国家。在这些年间,系统陈述了所发现真理的一般方法。五十二岁时,决定用此方法将世界做个综合性的描述。1629年写了思维指南录一书,概述了他的方法。在1630年到1634年期间,笛卡尔运用自己的方法研究科学。为了能学到更多的解剖学和生理学知识,亲自做解剖。在光学、气象学、数学及其他几个学科领域内都独立从事过重要研究。

  1649年,笛卡尔接受了瑞典女王克里斯蒂的慷慨之邀,来到斯德哥尔摩做她的私人教师。笛卡尔喜欢温暖的卧室,总是习惯晚些起床。当他得知女王让他清早五点钟去上课,他深感焦虑不安。笛卡尔担心早上五点钟那刺骨的寒风会要了他的命。果然不出所料,他很快就患了肺炎,1650年2月,在他达瑞典仅四个月后,被病魔夺去了生命。

  笛卡尔在1637年发表了最有名的著作《正确思维和发现科学真理的方法论》,通常简称为《方法论》。《方法论》是用法文而不是用拉丁文写成的,一切有文化的人都可以通读,包括没有学过古典语言的人。在《方法论》中附有三篇论文,在这三篇论文中笛卡尔给出了用自己的方法做出发明的例子。第一篇《光学》论文中,笛卡尔提出了光的折射定律(但是这个定律在此之前就已被威勒勃劳德·斯内尔发现);讨论了透镜和多种其它光学仪器;描述了眼睛的功能及病态的原因;提出了一种光的学说,后来为克里斯琴·海更斯系统阐述的光波学说揭开了序幕。第二篇论文第一次用现代的观点来探索气象,讨论了云雨风,正确解释了彩虹的形成原因。批驳热是一种不可见的流体组成的观念,指出热是一种内在运动形式的正确推论(但是这个推论以前已由弗朗西斯,培根和其他人提出过)。在第三篇论文中,笛卡尔介绍了解析几何。这是一项重大的数学进展,为牛顿发明微分开辟了道路。

  笛卡尔强调科学的目的在于造福人类,使人成为自然界的主人和统治者。他反对经院哲学和神学,提出怀疑一切的“系统怀疑的方法”。但他还提出了“我思故我在”的原则,强调不能怀疑以思维为其属性的独立的精神实体的存在,并论证以广延为其属性的独立物质实体的存在。他认为上述两实体都是有限实体,把它们并列起来,这说明了在形而上学或本体论上,他是典型的二元论者。笛卡尔还企图证明无限实体,即上帝的存在。他认为上帝是有限实体的创造者和终极的原因。笛卡尔的认识论基本上是唯心主义的。他主张唯理论,把几何学的推理方法和演绎法应用于哲学上,认为清晰明白的概念就是真理,提出“天赋观念”。笛卡尔的自然哲学观同亚里士多德的学说是完全对立的。在他认为,所有物质的东西,都是为同一机械规律所支配的机器,甚至人体也是如此。同时他又认为,除了机械的世界外,还有一个精神世界存在,这种二元论的观点后来成了欧洲人的根本思想方法。

  在物理学方面,笛卡尔也有所建树。他在屈光学中首次对光的折射定律提出了理论论证。他还解释了人的视力失常的原因,并设计了矫正视力的透镜。力学上笛卡尔则发展了伽利略运动相对性的理论,强调了惯性运动的直线性。笛卡尔发现了动量守恒原理。他还发展了宇宙演化论、漩涡说等理论学说,虽然具体理论有许多缺陷,但依然对以后的自然科学家产生了影响。

  笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。笛卡尔成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。在他的著作几何中,笛卡尔向世人证明,几何问题可以归结成代数问题,也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。笛卡儿引入了坐标系以及线段的运算概念。笛卡尔在数学上的成就为后人在微积分上的工作提供了坚实的基础,而后者又是现代数学的重要基石。此外,现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的,这包括了已知数a, b, c以及未知数x, y, z等,还有指数的表示方法。他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系,后人称为欧拉-笛卡尔公式。还有微积分中常见的笛卡尔叶形线

  1619年,23岁的笛卡尔在一支德国部队服役,军营驻扎在多瑙河旁,11月的一天,他因病躺在了床上,无所事事的他默默地思考着…… 20岁时,他大学毕业继承父业,当了一名律师,当时法国的社会风气是“非红即黑”。

  也就是说,有志之士不是致力于宗教事业就是献身于军事,笛卡尔选择了后者。军旅中一个偶然机会,他解出了数学教授别克曼的一道难题。从此成了别克曼教授的上宾,在数学的海洋中漫游,并游进了深水区。他开始看到了传统的几何过分依赖图形和形式演绎的缺陷。同时也深感代数过分受法则和公式的限制而缺乏活力。代数与几何的各自为政、画地为牢的状况抑制了数学的发展,怎样才能摆脱这种状况,架起沟通代数与几何的桥梁呢?这个问题苦苦折磨着年轻的笛卡尔。在没有战事的军队中,他常常有时间思考它。现在,他的思绪又回到了这个问题上……抬头望着天花板,一只小小的蜘蛛从墙角慢慢地爬过来,吐丝结网,忙个不停。从东爬到西,从南爬到北。要结一张网,小蜘蛛该走多少路啊!笛卡尔突发奇想,算一算蜘蛛走过的路程。他先把蜘蛛看成一个点,这个点离墙角多远?离墙的两边多远?……他思考着,计算着,病中的他睡了……梦中他继续在数学的广阔天地中驰骋,好像悟出了什么,又看到了什么,大梦醒来的笛卡尔茅塞顿开,一种新的思想初露端倪:在互相垂直的两条直线下,一个点可以用到这两条直线的距离,也就是两个数来表示,这个点的位置就被确定了。用数形结合的方式将代数与几何的桥梁联起来了。这就是解析几何学诞生的曙光,沿着这条思路前进,在众多数学家的努力下数学的历史发生了重要的转折,建立了解析几何学。编辑 ∑Gemini

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